Una delle caratteristiche più interessanti del cervello umano è la sua capacità di estrarre principi generali da casi specifici. Secondo molti filosofi e psicologi, la generalizzazione è un aspetto importante della cognizione, alimentando e espandendo allo stesso tempo i poteri di pensiero del cervello. Il filosofo tedesco Hegel la mise come segue: "Un'idea è sempre una generalizzazione e la generalizzazione è una proprietà del pensiero. Generalizzare significa pensare "(da The Philosophy of Right , 1821).
Forse l'aspetto che maggiormente stimola il cervello nel risolvere i rompicapo è il fatto che, spesso, un particolare genere di puzzle ci spinge a cercare un modello generale nascosto o un principio strutturale inerente alle varie versioni del puzzle. In questo blog, è il genere ben noto di puzzle di "abbinamento" che verranno utilizzati per mostrare come questa capacità innata del cervello si manifesta, una capacità che è presente in tutti noi, anche in coloro che non amano risolvere enigmi.
Iniziamo con un semplice puzzle di questo tipo:
In una scatola ci sono 20 palle da biliardo, 10 bianche e 10 nere, sparse a casaccio nella scatola. Sentono tutti la stessa cosa. Con una benda, qual è il numero minimo di palline che devi estrarre per ottenere un paio di palline che si abbinino a colori: cioè due palline bianche o due palline nere?
Molti nuovi arrivati a questo tipo di puzzle tendono a ragionare in qualche modo seguendo le seguenti linee:
Se la prima palla che estraggo è bianca, allora ne avrò bisogno un'altra bianca per abbinarla. Ma la prossima palla potrebbe essere nera, come potrebbe essere quella successiva, e quella successiva, e così via. Quindi, per essere sicuro di ottenere una corrispondenza, devo (in linea di principio) rimuovere tutte le palle nere dalla scatola-10 in tutto. Il prossimo che rimuoverò dopo sarà necessariamente bianco, poiché questo è il colore delle palline che rimangono nella scatola. Compresa la prima pallina bianca che ho eliminato, le dieci palline nere che ho dovuto rimuovere e l'unica palla bianca che corrisponde alla fine, 12 è il numero minimo di palline che dovrò estrarre.
Questa linea di ragionamento, tuttavia, non riesce a comprendere ciò che il puzzle richiede realmente di fare, per abbinare il colore di due palle, non solo il colore del primo estratto, che è risultato essere bianco. Il ragionamento corretto va così. Supponiamo che la prima palla che tiri fuori sia effettivamente bianca. Se sei fortunato, la prossima palla che tiri fuori sarà anche bianca, ed è finita! Ma non puoi assumere questo scenario basato sulla fortuna. Devi, al contrario, assumere la peggiore delle ipotesi, cioè, che la prossima palla che tiri fuori è nera. Quindi, dopo due pareggi, avrai estratto una palla bianca e una nera dalla scatola, nella peggiore delle ipotesi. Ovviamente, potresti aver estratto prima una palla nera e una bianca una seconda. Il risultato finale sarebbe stato lo stesso: una palla bianca e una nera dopo due pareggi.
Ora, ecco il punto cruciale della soluzione: la prossima palla che peschi dalla scatola sarà, ovviamente, bianca o nera. Non importa di che colore sia questa terza palla, si abbinerà al colore di una delle due già estratte. Se è bianco, abbinerà la palla bianca fuori dalla scatola; se è nero, abbinerà la palla nera fuori dalla scatola. Avrai quindi un paio di palline di colore corrispondente. Quindi, il minor numero di palle che dovrai pescare dalla scatola per assicurarti che un paio di palline corrispondenti siano tre .
Successivamente, aggiungiamo un colore al mix.
In una scatola ci sono 30 palle da biliardo, 10 bianche, 10 nere e 10 rosse sparse a casaccio nella scatola. Di nuovo, si sentono tutti uguali. Con una benda, qual è il minor numero di palle che devi tirare fuori questa volta per ottenere un paio di palle che corrispondono: cioè due palle bianche o due palle nere o due palle rosse?
Ancora una volta, aumentiamo il mix di colori di un altro.
In una scatola ci sono 40 palle da biliardo, 10 bianche, 10 nere, 10 rosse e 10 verdi sparse a casaccio nella scatola. Di nuovo, si sentono tutti uguali. Con una benda, qual è il numero minimo di palline che devi estrarre per ottenere un paio di palline che corrispondono: cioè due palline bianche o due palline nere o due palline rosse o due palline verdi?
Facciamolo aumentare un'ultima volta.
In una scatola ci sono 50 palle da biliardo, 10 bianche, 10 nere, 10 rosse, 10 verdi e 10 blu sparse a casaccio nella scatola. Di nuovo, si sentono tutti uguali. Con una benda sugli occhi, qual è il numero minimo di palline che devi estrarre per ottenere un paio di palline che corrispondono: cioè due palline bianche o due palline nere o due palline rosse o due palline verdi o due palline blu?
A questo punto, vedi uno schema? Che cos'è? Cambiare il numero di palle di un colore cambia il modello? Cioè, cosa succede se il numero di palle nell'ultimo puzzle è di 10 bianchi, 9 neri, 6 rossi, 4 verdi e 1 blu ?
Ecco una versione interessante e più complicata di questo tipo di puzzle:
Se ci sono 6 paia di scarpe nere e 6 paia di scarpe bianche in una scatola, tutto mescolato, qual è il numero minimo di pareggi che devi fare con una benda per essere sicuro di avere un paio di scarpe bianche o nere corrispondenti?
Per concludere, credo che uno degli aspetti più importanti della risoluzione di un puzzle sia la sua capacità di stimolare e migliorare i processi di generalizzazione spontaneamente. Sembra che il cervello umano non possa fermarsi al particolare, ma è programmato per estrarre principi di struttura generale o di progettazione nelle informazioni che elabora. Come lo storico inglese Thomas Babington Macaulay osservata nella Rivista di Edimburgo del 1825, "La generalizzazione è necessaria all'avanzamento della conoscenza." Risolvere enigmi come quelli presentati qui può mostrare perché è così e perché ci viene così naturale.
risposte
Il ragionamento per la versione a 30 colori, a tre colori è lo stesso. Si inizia assumendo lo scenario peggiore. Cos'è quello? Sta disegnando tre palle di tre colori diversi: bianco, nero e rosso. Ora, la quarta palla che tiri fuori, indipendentemente dal colore, combacerà con uno dei tre colori fuori dalla scatola, poiché può essere solo bianca, nera o rossa.
Il ragionamento per la versione a quattro colori a 40 sfere è esattamente lo stesso. Si inizia assumendo lo scenario peggiore, che consiste nel disegnare quattro palle di quattro colori diversi: bianco, nero, rosso e verde. La quinta palla che tiri fuori, tuttavia, combacerà con una di queste quattro fuori dagli schemi.
Inutile dire che anche il ragionamento per la versione a cinque colori a 50 sfere è lo stesso. Si inizia assumendo lo scenario peggiore. Per questa versione, questo consiste nel disegnare cinque sfere di cinque colori diversi: bianco, nero, rosso, verde e blu. La sesta palla che tiri fuori, tuttavia, abbinerà uno di questi cinque fuori dagli schemi.
Qual è lo schema generale? Quando ci sono due colori di palle nella scatola, abbiamo bisogno di tre pareggi per ottenere una corrispondenza; quando ce ne sono tre, abbiamo bisogno di quattro estrazioni; quando ce ne sono quattro, ne abbiamo bisogno di cinque; quando ce ne sono cinque, abbiamo bisogno di sei. Questo schema continuerà all'infinito perché il ragionamento è lo stesso in tutti i casi. Il modello è, semplicemente, che è necessario un altro pareggio rispetto al numero di colori per garantire che venga estratta una coppia di palline di colore corrispondente.
Cambiare il numero di palline dei colori non cambia il modello di soluzione. Ecco perché. Diciamo che ci sono 10 bianchi e solo 1 nero nella scatola. Nella peggiore delle ipotesi, disegnerai ancora 1 bianco e 1 nero. Tuttavia, la terza estrazione produrrà necessariamente una palla bianca, che è l'unico colore delle palline rimaste all'interno della scatola, in modo che corrisponda alla palla bianca già tirata fuori. Lo stesso tipo di ragionamento può essere usato più e più volte. Quindi, rimane la regola generale, indipendentemente dal numero di palline coinvolte per ogni colore.
La risposta al problema della scarpa è 13. Ci sono 24 scarpe in tutto nella scatola: 6 paia di scarpe nere = 12 scarpe nere; 6 paia di scarpe bianche = 12 scarpe bianche. Dei 24, metà è adatta al piede destro e metà è adatta al piede sinistro. Nel peggiore dei casi, potremmo scegliere tutte le 12 scarpe con il piede sinistro (6 delle quali sono nere e 6 bianche) o tutte le 12 scarpe con il piede destro (6 delle quali sono nere e 6 bianche). La tredicesima scarpa disegnata, tuttavia, abbinerà uno di questi dodici.
Più in particolare, supponiamo di aver disegnato le 12 scarpe con il piede sinistro-6 nere e 6 bianche. La tredicesima estrazione può produrre solo una scarpa con il piede giusto perché non ci sono più scarpe con il piede sinistro nella scatola. E, naturalmente, può essere nero o bianco. In entrambi i casi, sarà un colore corrispondente. Supponiamo di aver disegnato le 12 scarpe con i piedi giusti-6 neri e 6 bianchi. La tredicesima estrazione può produrre solo una scarpa con il piede sinistro perché non ci sono più scarpe con il piede destro nella scatola. E sarà nero o bianco. In entrambi i casi, sarà un colore corrispondente.